卡氏第二定理

　　1.卡氏第二定理

　　線彈性結(jié)構(gòu)的變形能對任一廣義力的偏導(dǎo)數(shù)等于對應(yīng)于該廣義力的廣義位移，即

　　2.討論

　　(1)適用于線彈性結(jié)構(gòu)(材料線彈性，結(jié)構(gòu)幾何線性)在小變形情況下的結(jié)構(gòu)位移計算。

　　(2)δi是表示力Pi作用點沿Pi方向、與Pi相應(yīng)的廣義位移。用卡氏定理計算某截面的位移時，若該處沒有相應(yīng)的廣義力作用，可在該處加一虛擬的與所求位移相應(yīng)的廣義力，在求得偏導(dǎo)數(shù)后再令其為零。

　　(3)由于變形能是對截面位置x的積分，而卡氏定理是對相應(yīng)廣義力求導(dǎo)，故先積分后求導(dǎo)、或先求導(dǎo)后積分沒有影響。因此具體計算中，可不必求出結(jié)構(gòu)的變形能，而可直接用下列各式計算

　　拉壓桿系的位移

　　梁的位移

　　剛架位移

　　[例 5—8—1] 用積分法求圖5—8—3所示各梁的撓曲線方程時，試問應(yīng)分為幾段?將出現(xiàn)幾個積分常數(shù)? 并寫出各梁的邊界條件和連續(xù)條件。

　　[解] (a)撓曲線方程應(yīng)分為兩段，共有四個積分常數(shù)。

　　邊界條件為

　　連續(xù)條件為

　　(b)撓曲線方程應(yīng)分為兩段，共有四個積分常數(shù)。

　　邊界條件為

　　式中 K為彈簧的剛度。

　　連續(xù)條件為

　　(c)撓曲線方程應(yīng)分為兩段，共有四個積分常數(shù)。

　　邊界條件為

　　連續(xù)條件為

　　分析與討論

　　(1)凡荷載有突變處、有中間支承處、截面有變化處或材料有變化處，均應(yīng)作為分段點。

　　(2)中間鉸視為兩個梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系體現(xiàn)為兩部分之間的相互作用力，故應(yīng)作為分段點。

　　(3)各分段點處都應(yīng)列出連續(xù)條件。根據(jù)梁變形的連續(xù)性，對同一截面只可能有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角值。在中間鉸處，雖然兩側(cè)轉(zhuǎn)角不同，但撓度卻是唯一的。

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