2020年環(huán)保工程師專業(yè)知識(shí)重點(diǎn)考點(diǎn):聲波的傳播和衰減
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聲波的傳播和衰減
一、聲波在空氣中的傳播和衰減
1、聲波方程
聲振動(dòng)必須滿足三個(gè)基本的物理定律,即牛頓第一定律、質(zhì)量守恒定律以及描述壓強(qiáng)、溫度、體積等狀態(tài)參數(shù)的狀態(tài)方程。應(yīng)用這三個(gè)定律可以推導(dǎo)出聲波傳播中的連續(xù)性方程、運(yùn)動(dòng)方程和物態(tài)方程,并進(jìn)一步得到波動(dòng)方程—— 、 和 對(duì)時(shí)間空間坐標(biāo)的偏微分方程。作如下假設(shè):①媒質(zhì)為理想流體,即媒質(zhì)中不存在黏滯性,聲波傳播時(shí)沒有能量損失;②沒有聲擾動(dòng)時(shí),媒質(zhì)在宏觀上是靜止的、均勻的,因此媒質(zhì)中靜壓強(qiáng) 、靜態(tài)密度 都是常數(shù);③聲波傳播時(shí),媒質(zhì)中稠密和稀疏的過程是絕熱的;④假設(shè)是小振幅聲波,即滿足:
聲壓 比大氣壓 要小得多,即 ;
質(zhì)點(diǎn)的位移 比波長(zhǎng) 要小得多,即 ;
質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度 比聲速 要小得多,即 ;
介質(zhì)密度的相對(duì)變化要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1,即 。
上述假設(shè)稱為理想流體媒質(zhì)小振幅假定??梢苑謩e推導(dǎo)連續(xù)性方程、運(yùn)動(dòng)方程和物態(tài)方程。
(1)連續(xù)性方程:是物質(zhì)不滅定律在流體運(yùn)動(dòng)描述中的數(shù)學(xué)應(yīng)用。對(duì)體積元 ,單位時(shí)間流入 的質(zhì)量與流出 的質(zhì)量之差等于該體積元內(nèi)質(zhì)量的變化率。由此可得體積元 在x、y、z方向上質(zhì)量的增量。
并由此得到單位時(shí)間 內(nèi)總的質(zhì)量增量的矢量形式如下式, 為拉氏算子。
(2)運(yùn)動(dòng)方程
運(yùn)動(dòng)方程是聲壓對(duì)于距離的梯度等于媒質(zhì)密度和質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度乘積的負(fù)值。在聲場(chǎng)中取一體積元 ,當(dāng)有聲波作用于體積元上,各方向的壓強(qiáng)將發(fā)生變化。設(shè)體積元在靜止時(shí)的壓強(qiáng)為 ,密度為 ,聲波產(chǎn)生的瞬時(shí)聲壓為 ,因體積元足夠小,可認(rèn)為作用在各面的壓力均勻。對(duì) 方向,利用簡(jiǎn)單力學(xué)分析和牛頓第二定律得:
由于是小振幅聲波,其密度的變化可忽略,即 ,可得聲波在 、 、 三個(gè)方向產(chǎn)生的加速度分別為:
式中: ——瞬時(shí)聲壓,Pa;
、 、 ——質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度 在 、 、 三方向上的分量。
可得到運(yùn)動(dòng)方程,式中 為拉普拉斯算符。
(3)物態(tài)方程
媒質(zhì)在聲波作用下,引起壓縮、膨脹的交替變化,媒質(zhì)的密度和壓強(qiáng)都發(fā)生了變化,即媒質(zhì)的狀態(tài)發(fā)生了變化。聲波傳播時(shí),理想狀態(tài)下媒質(zhì)的密度發(fā)生變化,而沒有能量的損耗,即為等熵絕熱過程。
物態(tài)方程一般可寫作: 考慮絕熱條件,上式簡(jiǎn)化為: 理想狀態(tài)的物態(tài)方程為: (4)波動(dòng)方程
聯(lián)立理想液體媒質(zhì)中三個(gè)基本方程:連續(xù)方程式、運(yùn)動(dòng)方程式和物態(tài)方程式,可推出理想液體媒質(zhì)中小振幅傳播的 、 、 中任意變量的波動(dòng)方程,得到以下三式:
聲壓波動(dòng)方程: 密度波動(dòng)方程: 振速波動(dòng)方程: 波動(dòng)方程分別反映了聲壓、密度、振速隨時(shí)空變化的關(guān)系。式中拉普拉斯算子 在直角坐標(biāo)系中展開為:
推導(dǎo)波動(dòng)方程時(shí),只是從媒質(zhì)的基本特性出發(fā),利用牛頓第二定律、物質(zhì)守恒定律和絕熱壓縮方程,并未涉及聲源及聲場(chǎng)的具體情況,因此波動(dòng)方程只反映聲波在媒質(zhì)傳播過程的一般物理特性。
2、聲波在空氣中的傳播
從理想液體媒質(zhì)中的小振幅聲波波動(dòng)方程可看出,聲壓是空間和時(shí)間的函數(shù),可以用來描述不同地點(diǎn)在不同時(shí)刻的聲壓變化規(guī)律。根據(jù)聲波傳播時(shí)波陣面形狀的不同,可將聲波分為平面波、球面波和柱面波。
(1)平面波
當(dāng)聲波的波陣面是垂直于傳播方向的一系列平面時(shí),稱其為平面聲波。
在平面波情況下, 只和 有關(guān), ,故平面波的波動(dòng)方程為:
其解為:
式中,符號(hào)“+”表示聲波沿 負(fù)方向傳播,符號(hào)“—”表示聲波沿正方向傳播,A為聲壓的幅值。
對(duì)于沿 正方向傳播的簡(jiǎn)諧平面聲波,聲壓的表達(dá)形式為: 式中, ,稱為波數(shù)。可令 。
質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度為: ,式中 稱為質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速度振幅。
聲波傳播中一個(gè)重要的參數(shù)——聲阻抗率,只與介質(zhì)的密度 和介質(zhì)中的聲速 有關(guān),而與聲波的頻率、振幅無(wú)關(guān),單位是 。
平面波的特征阻抗為: 平面聲波傳播時(shí)具有下述特性:聲壓和質(zhì)點(diǎn)速度同相位;在理想介質(zhì)中聲壓不隨距離變化;介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)速度也不隨距離變化;空氣的特征阻抗是常數(shù);平面波的聲強(qiáng) ;平面波的聲功率 。
(2)球面波
聲波以球面波傳播時(shí), 只和球面坐標(biāo)的 有關(guān),其波動(dòng)方程為:
令 代入上式得: 與平面波的波動(dòng)方程一致,由此得到球面波的解的一般形式為:
式中,前項(xiàng)代表聲波以速度 沿半徑向外發(fā)散的球面波,后項(xiàng)代表向球心會(huì)聚的球面波(反射波),在無(wú)限空間條件下不存在反射波。如果振動(dòng)是簡(jiǎn)諧方式的,則上式變?yōu)椋?/p>
根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程得到徑向質(zhì)點(diǎn)振速與聲壓的關(guān)系:
因此球面波的聲阻抗率為: 與平面波不同,輻射球面波時(shí)介質(zhì)的聲阻抗率是負(fù)數(shù),它具有純阻和純抗兩部分,并與半徑 、波長(zhǎng) 有關(guān)。因此,聲壓與質(zhì)點(diǎn)不同相。球面波聲阻抗的幅值為 ,它比平面波的聲阻抗率要小。距離聲源大時(shí)( ),聲阻抗率接近平面波的特征阻抗。
球面聲波通常具有如下的傳播特性:
①理想介質(zhì)中聲壓與球面波的半徑成反比。
②聲壓與振速間的相位差與 成反比。
③介質(zhì)聲阻抗率為復(fù)數(shù),當(dāng)球面波半徑很大時(shí)純抗分量可以忽略。
④半徑很大時(shí)聲強(qiáng) ,聲強(qiáng)與距離平方成反比。
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